Vetores 2

Produto interno/Produto Escalar

Info

A partir desse vídeo do 3Blue1Brown não haverá dublagens em português, só legenda.

Podemos achar uma fórmula para a definição de Produto Interno como:

\[ v \cdot w = \text{"comprimento de v"} \cdot \text{"comprimento da projeção de w em v"} \]

Onde "comprimento da projeção de w em v" pode ser calculada como cateto adjacente, sendo \(\theta\) é ângulo entre os 2 vetores:

\[ cos(\theta) = \frac{\text{"cateto adjacente"}}{\text{"hipotenusa"}} \]

\[ cos(\theta) = \frac{\text{"comprimento da projeção de w em v"}}{\text{"comprimento de w"}} \]

\[\text{"comprimento da projeção de w em v"} = \text{"comprimento de w"} \cdot cos(\theta)\]

Então a fórmula final é:

\[ v \cdot w = ||\mathbf{v}|| \cdot ||\mathbf{w}|| \cdot cos(\theta) \]

Ortogonalidade

Intuitivamente, o Produto Interno é muitas vezes usado como forma de medir similaridade entre vetores ou o quanto a direção \(\mathbf{v}\) mantém a informação de \(\mathbf{w}\) (especialmente se \(\mathbf{v}\) for um vetor unitário).

Caso o ângulo entre dois vetores for 90°, então o Produto Interno será zerado.

A conclusão intuitiva é que as informações que os vetores ortogonais representam são completamente opostas.

Isso pode ser visto na ideia de eixo de um plano cartesiano: só é possível aumentar a coordenada x de um ponto sem alterar a coordenada y se esses eixos são ortogonais, se são "independentes"/"opostos".

Exceção:

O vetor nulo é considerado ortogonal a todo vetor por convenção.

Notação

Existem duas notações principais para a operação Produto Interno:

\(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\)

Temos que ter cuidado nessa notação, pois uma escalar multiplicada por um vetor pode usar essa mesma representação.

Usando a dualidade do Produto Interno, podemos considerar \(\mathbf{v}\) como uma matriz:

\(\mathbf{v}^T \mathbf{w}\)

Essa notação evita o ponto que é uma notação muito usada e pode ser muito útil ao fazer manipulação algébrica, pois podemos usar as propriedades da Transposta.

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Produto Externo

Pode ser visto como uma forma de multiplicar uma coluna por uma linha, resultando em uma matriz.

A notação usada: \(\mathbf{v}\mathbf{u}^T\)

Note, pelo resultado e pela ordem da multiplicação, essa operação entre vetores pode ser melhor vista como uma operação entre matrizes.

Se interpretarmos essa multiplicação entre matrizes como uma Combinação Linear das colunas, então todas as colunas do resultado serão colineares e a matriz terá posto 1.

Relembre

Multiplicação com Produtos Externos

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Projeção

Chamaremos de \(\mathbf{p}\) o vetor que é \(\mathbf{w}\) projetado em \(\mathbf{v}\).

A informação da norma de \(\mathbf{p}\) estará no contida no produto interno de \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\).

A informação da direção de \(\mathbf{p}\) estará contida no vetor \(\mathbf{v}\).

\[ norma = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{||\mathbf{v}||} = ||\mathbf{w}|| \cdot cos(\theta) \]

"norma" é um escalar.

\[ \mathbf{\vec{d}} = \frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} \]

\(\vec{d}\) é o vetor unitário que representa a direção de \(\mathbf{v}\).

Relembre:

Vetor Unitário

\[ \mathbf{p} = norma \cdot \mathbf{\vec{d}} \]

\[ \mathbf{p} = \frac{(\mathbf{w} \cdot \mathbf{v})}{||\mathbf{v}||} \frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} \]

O caso especial que \(\mathbf{v}\) é um vetor unitário facilita a fórmula:

\[ \mathbf{p} = (\mathbf{w} \cdot \mathbf{\vec{v}}) \mathbf{\vec{v}} \]

Projeção em Subespaços

Até agora todas as projeções foram em cima de uma reta definida por um vetor, mas podemos querer projetar em um plano ou em Subespaços de mais dimensões.

Por exemplo: em um Espaço Ambiente 3D queremos projetar \(\mathbf{v}\) em um plano:

Para representar um plano precisamos de uma Base com 2 vetores, então colocamos esses 2 vetores em uma matriz \(A\) e o Espaço Coluna de \(A\) representa esse plano.

O vetor \(\mathbf{p}\) é a projeção de \(\mathbf{v}\) no plano. Note que \(\mathbf{p}\) está contido no Espaço Coluna de A, então existe algum vetor \(\mathbf{x}\) que satisfaça \(A\mathbf{x} = \mathbf{p}\).

Sabemos \(\{A, \mathbf{v}\}\) e queremos conhecer \(\mathbf{p}\), para isso devemos descobrir \(\mathbf{x}\) primeiro.

Devemos usar as informações que temos para achar uma equação em que podemos isolar o \(\mathbf{x}\).

Ainda temos mais uma informação que pode ser usada: o vetor \(\mathbf{v} - \mathbf{p}\) é ortogonal ao plano, logo é ortogonal ao Espaço Coluna, então o vetor \(\mathbf{v} - \mathbf{p}\) está no Espaço Nulo Esquerdo.

Relembre

Ortogonalidade de Espaços Fundamentas

Pela definição de Espaço Nulo Esquerdo:

\[A^T(\mathbf{v} - \mathbf{p}) = \vec{0}\]

Pela propriedade distributiva das matrizes:

\[A^T\mathbf{v} - A^T\mathbf{p} = \vec{0}\]

\[A^T\mathbf{p} = A^T\mathbf{v}\]

Exemplo

Note que não podemos cortar \(A^T\) dos 2 lados, pois \(A^T\) não é inversível (não é nem uma matriz quadrada).

\[A^TA\mathbf{x} = A^T\mathbf{v}\]

Ainda mostraremos que \(A^TA\) é uma matriz especial, mas por agora só precisamos saber que \(A^TA\) tem inversa quando A tem colunas Linearmente Independentes.

Essa equação tem o nome "Equação Normal" (Normal=Ortogonal ao Subespaço) e permite achar \(\mathbf{x}\).

\[\mathbf{x} = (A^TA)^{-1} A^T\mathbf{v}\]

Então conseguimos achar a projeção:

\[A \mathbf{x} = \mathbf{p}\]

Matriz de projeção

Podemos pensar na projeção como uma Transformação Linear, logo pode ser representada como uma matriz.

Será mostrado como achar essa matriz no caso especial em que o Subespaço é uma reta e no caso genérico para qualquer Subespaço.

O vídeo a seguir mostra mais propriedades da matriz de Projeção:

Subespaço Reta

\[ \mathbf{p} = \frac{(\mathbf{w}^T \mathbf{v})}{||\mathbf{v}||} \frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} \]

Note que o Produto Interno entre dois vetores iguais é só a Norma ao quadrado.

\[ \mathbf{p} = \frac{(\mathbf{w}^T \mathbf{v}) \mathbf{v}}{\mathbf{v}^T\mathbf{v}} \]

Como o produto interno é comutativo e resulta em uma escalar, então podemos mudar a ordem:

\[ \mathbf{p} = \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}^T\mathbf{w})}{\mathbf{v}^T\mathbf{v}} \]

Como podemos mudar os parênteses em operações com matrizes, então:

\[ \mathbf{p} = \frac{(\mathbf{v}\mathbf{v}^T)}{\mathbf{v}^T\mathbf{v}} \mathbf{w} = P \mathbf{w} \]

Temos a matriz do Produto Externo dividido pela escalar do Produto Interno como a matriz de Projeção P.

Subespaço Genérico

Devemos achar a matriz de Projeção que respeite:

\[P \mathbf{v} = \mathbf{p}\]

\[P \mathbf{v} = A \mathbf{x}\]

Para acharmos \(\mathbf{x}\) usamos a Equação Normal.

\[P \mathbf{v} = A (A^TA)^{-1} A^T\mathbf{v}\]

Logo, achamos a matriz de Projeção genérica:

\[P \mathbf = A (A^TA)^{-1} A^T\]

Exemplo

Note que se A fosse a Base para o Subespaço com mesma dimensão do Espaço Ambiente, então A seria invertível, logo a matriz de Projeção não faria nada.

\[P \mathbf = \{A A^{-1}\}\{(A^T)^{-1} A^T\} = I\]

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Decomposição do vetor

Todo vetor \(\mathbf{v}\) pode ser decomposto em:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{v_{\parallel}} + \mathbf{v_{\perp}} \]

• \(\mathbf{v_{\parallel}}\) é a informação de \(\mathbf{v}\) em uma direção \(\mathbf{d}\), adquirido pela Projeção de \(\mathbf{v}\) em \(\mathbf{d}\), \(\mathbf{v_{\parallel}}\) é paralelo a \(\mathbf{d}\).

• \(\mathbf{v_{\perp}}\) é a informação de \(\mathbf{v}\) na direção oposta a \(\mathbf{d}\) (direção ortogonal), adquirido por \(\mathbf{v_{\perp}} = \mathbf{v}\ - \mathbf{v_{\parallel}}\)

Exemplo

Considere que um apartamento pode ser representado por 3 propriedade numéricas (área, preço e andar) nessa ordem, onde cada propriedade é um eixo do Espaço Ambiente 3D.

Assim um apartamento pode ser representado por um vetor \(\mathbf{v}\):

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 60 \\ 150 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Se quisermos decompor \(\mathbf{v}\) na direção do eixo de área, a parte Colinear seria:

\[ \left(\begin{pmatrix} 60 \\ 150 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

E a decomposição será:

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 60 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 150 \\ 3 \end{pmatrix} \]

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Produto Vetorial

Uma operação que costumamos fazer muito é achar um vetor \(\mathbf{p}\) com norma \(n\) que é ortogonal ao vetor \(\mathbf{v}\).

Note que isso faria mais sentido se fosse em um Espaço Ambiente com dimensão 2, pois temos infinitos vetores com norma \(n\) ortogonais a \(\mathbf{v}\) em 3 ou mais dimensões.

De forma generalizada, poderíamos escolher um vetor \(\mathbf{p}\) ortogonal a um conjunto de vetores em qualquer Espaço Ambiente usando o sistema:

\[conjunto = \{\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{u}, ...\}\]

\[ \begin{cases} \mathbf{p} \cdot \mathbf{v} = 0\\ \mathbf{p} \cdot \mathbf{w} = 0\\ \mathbf{p} \cdot \mathbf{u} = 0\\ ...\\ ||\mathbf{p}|| = n \end{cases} \]

Mas teremos solução única (dupla se considerarmos os 2 sentidos da mesma direção) apenas quando a "dimensão Espaço Ambiente" = "quantidade do conjunto" + 1.

No caso especial em que o conjunto tem 2 vetores, podemos pensar em achar o \(\mathbf{p}\) como o resultado de uma operação entre 2 vetores:

\[\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{p}\]

No caso especial que estamos em um Espaço Ambiente com dimensão 3, temos uma forma mais eficiente de achar \(\mathbf{p}\), que é apresentado nos vídeos:

Dificuldade comum:

O próximo vídeo mostra uma intuição da "forma mais eficiente de achar \(p\)", porém pode ser considerado opcional para a continuação do material.

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