Matrizes 2
Os 4 Subespaços Fundamentais de uma matriz
Com uma matriz podemos formar 4 Subespaços Vetoriais que descrevem o comportamento da respectiva Transformação Linear.
Relembre
Espaço Coluna
O conjunto de todos os vetores que são possíveis saídas da matriz.
Pode ser visto como o Espaço Gerado pelas colunas da matriz.
dimensão do Espaço Ambiente = quantidade de linhas da matriz (dimensão da saída da matriz)
dimensão do Subespaço Vetorial = quantidade de colunas Linearmente Independentes (Posto) da matriz
Espaço Nulo
O conjunto de todos os vetores que se usados como entrada resultariam no vetor nulo.
Pode ser visto como todos os vetores entrada que colapsarão no vetor nulo quando o Subespaço Vetorial de saída diminuir de dimensão.
dimensão do Espaço Ambiente = quantidade de colunas da matriz (dimensão da entrada da matriz)
dimensão do Subespaço Vetorial = quantidade de colunas Linearmente Dependentes
Espaço Linha
O conjunto de todos os vetores que poderiam ser resultado da Combinação Linear das linhas.
Relembre
Pode ser visto como o Espaço Coluna da matriz Transposta.
dimensão do Espaço Ambiente = quantidade de colunas da matriz (dimensão da saída da matriz Transposta)
dimensão do Subespaço Vetorial = quantidade de linhas Linearmente Independentes
Espaço Nulo Esquerdo
O conjunto de todas as linhas de entrada que se multiplicadas pela esquerda resultariam em uma linha nula.
Pode ser visto como o Espaço Nulo da matriz Transposta.
dimensão do Espaço Ambiente = quantidade de linhas da matriz (dimensão da entrada da matriz Transposta)
dimensão do Subespaço vetorial = quantidade de linhas Linearmente Dependentes
Relações
Podemos achar relações entre os 4 Subespaços Fundamentais, exemplo:
Note que os vetores entrada e os vetores saídas estão em Espaços Ambientes de dimensões diferentes.
Espaço Linha e Espaço Nulo estão no Espaço Ambiente dos vetores entrada, Espaço Coluna e Espaço Nulo Esquerdo estão no Espaço Ambiente dos vetores saída.
Note também que os Subespaços Fundamentais no mesmo Espaço Ambiente são ortogonais.
Prova:
Conseguimos saber qual será cada componente de \(\mathbf{b}\) apenas sabendo a respectiva linha da A e coluna de \(\mathbf{x}\).
Relembre
Caso \(\mathbf{x}\) for do Espaço Nulo, então todos os componentes de \(\mathbf{b}\) são 0.
Uma propriedade que será vista do Produto Interno é que quando o resultado é 0, então os vetores são ortogonais.
Como o vetor do Espaço Nulo é ortogonal a toda linha, então ele é ortogonal a todo vetor do Espaço Linha.
Podemos provar a ortogonalidade do Espaço Coluna com o Espaço Nulo Esquerdo da mesma forma apenas transpondo a matriz.
Teorema Fundamental da Álgebra Linear
Um resultado importante é que a dimensão do Espaço Coluna é a mesma dimensão do Espaço Linha.
Uma forma de visualizar isso é que todo vetor do Espaço Linha será transformado em um único vetor do Espaço Coluna, e cada vetor do Espaço Coluna tem origem em um único vetor do Espaço Linha.
Temos uma função bijetora entre o Espaço Linha e o Espaço Coluna.
Como no exemplo, o vetor nulo do Espaço Linha resulta no vetor nulo do Espaço Coluna, porém temos um plano inteiro (Espaço Nulo) de vetores entrada que resultarão no vetor nulo também.
Isso ocorrerá para todo vetor, cada vetor saída terá origem em qualquer vetor contido em um plano (note que o vetor do Espaço Linha será tanto a normal do plano quanto um ponto do Plano).
Exemplo
Um resultado dessa visão é que para um vetor do Espaço Coluna, o vetor entrada com menor norma será o vetor pertencente ao Espaço Linha. Em muitas aplicações é desejável trabalhar com vetores com norma pequena.
Isso implica que temos a mesma quantidade de colunas e de linhas Linearmente Independentes, pois é a quantidade necessária de vetores para a Base desses Subespaços.
Sistema Linear de Equações
Soluções
Um Sistema Linear pode ter 0, 1 ou infinitas soluções e uma forma de visualizar isso é pela interpretação por linhas do Sistema Linear.
Relembre
Cada equação é uma reta de pontos que possivelmente resolverão a equação, então o resultado final será o ponto de interseção de todas essas retas.
Então temos 3 cenários:
- Não existe ponto de interseção
- Existe um único ponto de interseção
- As retas são iguais e existem infinitos pontos de interseção
Note que não tem como existir 2 pontos de interseção.
Outra forma de visualizar é pela interpretação por colunas.
Dica
Use as próximas sessões para testar sua compreensão dos conceitos vistos até agora, caso houver dúvida é aconselhável voltar no material.
1 solução
Provavelmente a quantidade de variáveis é igual a quantidade de equações.
Provavelmente a matriz A é quadrada e com Posto Completo (não tem colunas Linearmente Dependentes), para a saída \(\mathbf{b}\) teremos apenas uma entrada \(\mathbf{x}\).
Nenhuma solução
Provavelmente a quantidade de variáveis é menor do que a quantidade de equações.
Provavelmente a matriz A é "alta e fina", \(\mathbf{x}\) está em um Espaço Ambiente menor do que o Espaço Ambiente de \(\mathbf{b}\), o que significa que raramente \(\mathbf{b}\) estará no Espaço Coluna de A.
Infinitas soluções
Provavelmente a quantidade de variáveis é maior do que a quantidade de equações.
Provavelmente a matriz A é "baixa e larga", \(\mathbf{x}\) está em um Espaço Ambiente maior do que o Espaço Ambiente de \(\mathbf{b}\), o que significa que infinitos pontos irão colapsar em um único ponto do Espaço Ambiente menor.
Outra forma de representar o Sistema Linear:
Onde \(\mathbf{n}\) é um vetor que pertence ao Espaço Nulo, pois
Como o Espaço Nulo ou só contém o vetor nulo ou contém infinitos vetores, se o Espaço Nulo tiver infintos vetores, então teremos infinitas soluções.
Cuidado:
Note que "provavelmente" foi usado, pois existem casos de exceção. Por exemplo:
Sendo A "alta e fina", ainda poderia existir 1 única solução no caso raro de \(\mathbf{b}\) estar no Espaço Coluna de A.
Sendo A quadrada, A pode ter Posto incompleto, o que significa que \(\mathbf{b}\) pode não estar no Espaço Coluna de A (então nenhuma solução), e se \(\mathbf{b}\) estiver no Espaço Coluna de A então teremos vários pontos que colapsarão no ponto \(\mathbf{b}\) (então infinitas soluções).
Eliminação de Gauss-Jordan
Um método ara resolver um Sistema Linear de Equações é o Escalonamento/Eliminação de Gauss, que acha equações cada vez mais simples, mas que possuem as mesmas soluções.
Algoritmo descrito nos vídeos:
A Eliminação de Gauss-Jordan é uma variação
Algoritmos para a Inversa
Como as Operações Elementares são operações entre as linhas de uma matriz A, então podemos representar essas operações em uma matriz \(B\) que multiplica \(A\) pela esquerda.
Relembre
Se fizermos a Eliminação de Gauss-Jordan em uma matriz A e chegarmos na matriz identidade, então \(BA = I\).
Note que isso parece a Inversa, vamos tentar isolar \(B\):
De fato \(B\) é a inversa, então \(AB\) também resulta na identidade:
Porém, se o resultado da Eliminação de Gauss-Jordan tiver alguma coluna sem pivô, então a matriz A não é inversível (uma coluna sem pivô é Linearmente Dependente).
O próximo vídeo apresenta uma fórmula pronta para a Inversa de uma matriz 2x2, além de exemplos usando a Eliminação de Gauss Jordan para a Inversa:
Exercícios
Mostre que essa matriz não é inversível sem fazer conta: \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 5 & 8 \\1 & 2 & 3\end{pmatrix}\)
Uma matriz não é inversível quando tem alguma coluna Linearmente Dependente.
Segundo o Teorema Fundamental da Álgebra Linear, a quantidade de linhas e colunas Linearmente Independentes é igual.
Fica claro que temos uma linha repetida, então a matriz tem posto 2 e não é inversível.