Introdução
A Álgebra Linear nasceu de uma das interpretações de como resolver um Sistema Linear de Equações, que abstraiu esses sistemas em novos objetos: vetores e matrizes.
Essa abstração permite novas propriedades e operações, o que cria uma nova forma de álgebra que trata um grupo de números ordenados como um único objeto: o vetor.
Exemplo
Em um contexto de vendas de casas, uma casa pode ser representada por \(\begin{pmatrix}200000 \\ 60 \end{pmatrix}\), onde o primeiro número é o preço e o segundo é a área.
Álgebra:
Conjunto de objetos matemáticos e regras para as operações entre eles
Linear:
Como em Sistema Linear, as variáveis aparecem sem serem multiplicadas entre si, elevadas a potências maiores que 1 ou colocadas dentro de funções
\(3x^2+y=0\) não é linear, \(\frac{x}{4} + 2y = 3\) é linear
Aplicações
Como forma de motivação para o estudo da disciplina, aqui estão uma das melhores aplicações da Álgebra Linear:
Dica
Os vídeos nessa seção são só amostras do alcance da Álgebra Linear, não é esperado compreensão por agora.
Cadeias de Markov
Transformada de Fourier
Redes Neurais
Grafos
Criação do vetor e da matriz
Um Sistema Linear de Equações consiste em achar valores para as variáveis que tornam todas as equações verdadeiras.
Exemplo
Duas canetas e um diário custam 10 reais; uma caneta e dois diários custam 11 reais. Quanto custa cada um?
Interpretação por linha
Começamos aceitando que as variáveis podem tomar qualquer valor, porém a cada equação do sistema adicionamos uma restrição (as variáveis podem tomar apenas os valores que satisfazem aquela equação), então no final queremos saber se existe um valor que está em todas as restrições.
Se mexermos um pouco na equação chegamos a:
Relembre
Função 1° grau/afim: \(y=ax+b\)
Note que essas equações são retas. Assim, os valores que respeitam todas as restrições são os pontos de interseção entre as retas.
Podemos usar o gráfico para nos ajudar a perceber o padrão dos valores das variáveis que satisfazem o Sistema Linear de Equações:
Dica
Definimos o eixo horizontal como \(c\) e o eixo vertical como \(d\).
Usamos um novo eixo para cada nova variável, assim como estamos acostumados a fazer com \(y=ax+b\) ou \(y=ax^2+bx+c\).
O número de dimensões nesse contexto não é nada místico, é apenas o número de variáveis.
Interpretação por Coluna
Podemos interpretar o Sistema Linear de Equações de outra forma:
Ao invés de vermos o Sistema Linear como um conjunto de equações, podemos ver como uma única equação.
Vamos tratar o o resultado das equações como o "resultado do sistema":
Usando um pouco da imaginação e seguindo esse padrão de separar as colunas do sistema, chegamos a:
É como se estivéssemos montando uma equação entre pares ordenados.
Podemos melhorar nossa notação para evitar repetições:
Note que a letra que representa a variável não importa, para resolver essa equação pegamos \(\begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix}\) da primeira variável e somamos com \(\begin{pmatrix}1 \\2\end{pmatrix}\) da segunda variável.
Cuidado
O nome da variável não importa porque já tínhamos ordenado o sistema.
Se tivéssemos separado em colunas assim:
Então não poderíamos ter tirado a variável do par ordenado.
A informação mais importante para a resolução dessa equação são esses pares ordenados, então podemos criar uma notação que os evidencia:
Geralmente chamamos esses objetos com uma única coluna de vetor e com mais de uma coluna de matriz.
Geralmente chamamos essa operação na esquerda de multiplicação entre matriz e vetor (por mais que seja uma multiplicação e uma soma).
Exemplo
Um motivo da existência do objeto "matriz" é que, independentemente do resultado do sistema, podemos garantir que essa equação tem solução apenas com a determinante da matriz (que veremos em breve).
Dica
Nesse contexto a matriz é vista como um par de pares, entretanto não é necessariamente isso.
Não se preocupe muito com a definição de matriz, a matemática tenta dar definições abrangentes para os conceitos poderem ser usados em vários contextos.
Se esforce para ter diferentes visões de o que é uma matriz.
Todas as equações acima são equivalentes e são a base para as definições e as propriedades da Álgebra Linear.
Contexto histórico
Material Base
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Canal 3Blue1Brown: playlist Essence of linear algebra
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MIT OpenCourseWare: curso 18.06 Linear Algebra
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MIT OpenCourseWare: curso 18.065 Matrix Methods in Data Analysis, Signal Processing, and Machine Learning