Vetores

Dica

Todos os conceitos dessa página são essenciais para o prosseguimento da matéria, então tome algum tempo para digerir todas as informações e reassista os vídeos após um tempo.

Uma forma de criar mais intuição para esse novos objetos matemáticos é olhar suas propriedades geométricas.

Intenção do OpenICEX

O trabalho principal do OpenICEX não é a criação de conteúdo.

Para muitos temas já existem conteúdos de ótima qualidade que pessoas com mais capacidade e recurso fizeram, tentar refazer isso seria um desperdício e provavelmente terminaríamos com um material de menor qualidade.

O trabalho principal do OpenICEX é:

• Achar os conteúdos de qualidade, se não acharmos criamos

• Organizar e conectar os conteúdos de forma que faça sentido em um curso introdutório de graduação

Então, caso não avisado previamente, assumimos que o link para o conteúdo externo tenha sido visto.

Operações básicas com vetores

Dimensão de um vetor

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \]

O vetor \(\mathbf{v}\) possui dimensão 3, então ele será representado geometricamente em um espaço 3D, por convenção usamos os eixos que já estamos acostumados:

• eixo x: valor 3

• eixo y: valor 2

• eixo z: valor 4

Outro termo usado para a dimensão de um vetor é o número de componentes.

Norma de um vetor

• Vetor como seta: a Norma é o comprimento dessa seta

• Vetor como ponto: a Norma é a distância do ponto até a origem (0,0)

A notação para a norma é: \(|| \mathbf{v} || = \left|\left| \begin{pmatrix}x_2 \\y_2 \end{pmatrix} \right|\right|\)

A fórmula é derivada da distância entre 2 pontos, onde o ponto A geralmente é a origem (0,0).

\[ || \mathbf{v} || = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} \]

Esse padrão segue para mais dimensões.

Exemplo

3 dimensões:

\[ || \mathbf{u} || = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \]

Vetor unitário

Alguns vetores devem conter apenas a informação de direção, para isso uma convenção é usar o vetor com norma 1.

Exemplo

Queremos a colocar apenas a direção do vetor \(\mathbf{v}\) em um novo vetor \(\mathbf{\vec{d}}\)

\[ \mathbf{\vec{d}} = \frac{1}{||\mathbf{v}||} \cdot \mathbf{v} \]

O processo de tornar um vetor qualquer em um vetor Unitário se chama Normalizar.

Vetores Colineares/Paralelos

Vetores são colineares/paralelos se estão na mesma direção, eles se igualam com alguma modificação na sua norma.

Exemplo

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}; \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix} \]

Como \(\mathbf{v} \cdot 3 = \mathbf{u}\), então \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{u}\) são colineares/paralelos.

Subtração de vetores

Uma intuição importante é que a subtração entre 2 vetores com a mesma origem resulta em um vetor que os conecta nesse sentido.

Porém, lembre que esse vetor \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\) será fixado na origem da coordenada.

Dica

Por que fixamos os vetores na origem?

Um vetor é igual ao outro se tem a mesma:

• direção
• sentido
• norma

Independente de onde decidirmos colocar esse vetor.

Então, para representar essa equivalência geometricamente, temos que fixar esses vetores em algum ponto. Por simplicidade e convenção, esse ponto é a origem.

Note que essa é a mesma operação de subtrair dois pontos e resultar em um vetor, porém os pontos estão representados como setas nesse caso.

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Bases, Espaço Gerado(Span), Combinação Linear, vetores Linearmente (In)Dependentes

Base Canônica

Para um vetor qualquer

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2,5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}; \]

Se as Bases não forem informadas, então assumimos a Base Canônica, onde cada eixo recebe um vetor unitário:

\[ \mathbf{v} = 2,5 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Esses vetores do eixo x,y,z também são chamados de \(\mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}\).

Espaço Ambiente

O Espaço Ambiente é o espaço no qual estamos inseridos, ele é absoluto, nada muda ele.

O Espaço Ambiente de dimensão n contém todos os vetores com dimensão n.

O vetor é uma forma de representar um ponto do Espaço Ambiente, porém podemos ter formas diferentes de representar o mesmo ponto se usarmos Bases diferentes.

Perdemos a intuição geométrica do vetor acima de 3 dimensões, porém se tratarmos os vetores como uma lista ordenada de números para representar as propriedades de um objeto, então é esperado a necessidade de mais do que 3 dimensões.

Um resultado importante é que propriedades que acharmos em 2 ou 3 dimensões tendem a existir em mais dimensões.

Teste de conjunto Linearmente Independente

Como saber se um conjunto de vetores é Linearmente Independente?

Primeiramente, devemos considerar a dimensão dos vetores nesse conjunto, caso a dimensão seja n, então conjuntos com mais de n vetores é Linearmente Dependente, pois pelo menos um vetor já está no Espaço Gerado dos outros.

Caso contrário, devemos achar se existe um vetor que é a Combinação Linear dos outros. Uma forma de fazer isso é achar mais que uma solução para a seguinte equação:

\[ \begin{gathered} \text{conjunto} = \{\mathbf{v}, \mathbf{u}, \mathbf{t}\} \\ \vec{0} = x \mathbf{v} + y \mathbf{u} + z \mathbf{t} \end{gathered} \]

Onde \(\vec{0}\) é o vetor nulo, um vetor só com zeros em todas as dimensões, representa a origem.

Nessa equação sabemos os valores de \(\mathbf{v}, \mathbf{u}, \mathbf{t}\) e queremos achar os valores dos escalares (x,y,z) que zeram a Combinação Linear.

Note que esse sistema sempre tem pelo menos 1 solução: tomar todos os escalares como 0.

Porém só haverá mais soluções se esse conjunto for Linearmente Dependente.

Exemplo

Se \(\mathbf{t}\) for uma Combinação Linear dos outros vetores:

\(\mathbf{t} = 2 \mathbf{v} + 3,5 \mathbf{u}\)

Então

\(2 \mathbf{v} + 3,5 \mathbf{u} - \mathbf{t} = \vec{0}\)

Então, se tivermos um conjunto Linearmente Dependente sempre conseguimos subtrair duas partes iguais (diferentes de 0).

\((2 \mathbf{v} + 3,5 \mathbf{u}) - (\mathbf{t}) = \vec{0}\)

Subespaço Vetorial

Um Espaço Ambiente de 3 dimensões pode ter um conjunto de vetores que gera um ponto, uma linha, um plano e um espaço, todos esses resultados serão Subespaços.

O Espaço Gerado é um Subespaço e todo Subespaço tem um conjunto que o gera.

A ideia principal de um Subespaço é que qualquer Combinação Linear de vetores contidos nesse Subespaço retorne outro vetor que também está contido nesse Subespaço.

Como podemos escolher escalares zeros na Combinação Linear, então o Subespaço sempre passa pela origem.

Exemplo

O Espaço Gerado só resulta em um ponto se o conjunto de vetores tiver apenas o vetor nulo

Base

A palavra Base pode ser usada em 2 contextos:

• É o sistema de coordenadas que usamos (igual a Base Canônica).
• Um conjunto de vetores é uma Base se o conjunto for Linearmente Independente, então poderia ser usado como sistema de coordenadas para algum Subespaço Vetorial.

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Exercício

Considere 3 vetores:

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Estamos em qual Espaço Ambiente?

Como o vetor tem 3 componentes, então estamos em um Espaço Ambiente 3D.

Qual é a geometria do Espaço Gerado por esse conjunto?

Note que na terceira dimensão só temos o valor 0, não podemos multiplicar 0 por alguma coisa e sair de 0.

Então, o Espaço Gerado perdeu uma dimensão, agora só pode ser um plano ou uma reta.

Como os vetores não são colineares, então não é uma reta.

O Espaço Gerado desse conjunto é um plano.

Este conjunto gerado poderia ser uma Base?

Não, pois o Espaço Ambiente é 3D, porém o Espaço Gerado é 2D

Dica

Para visualizar os vetores use o Geogebra.

Escolha a calculadora 3D.

Criamos o vetor com um comando do tipo "u = (0,3,0)", sempre com letra minúscula.

Podemos visualizar o Espaço Gerado usando o comando "Plane((0,0,0), v, u)", onde temos que definir um ponto e dois vetores contidos no plano.

Em geral, se pensarmos em alguma operação geométrica, comece a digitar o comando e procure nas recomendações.

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Notação

Um dos maiores problemas na compreensão dos cálculos em álgebra linear é a inconsistência na notação usada.

Geralmente uma matriz é representada por uma letra maiúscula e um vetor por uma letra minúscula, assim, um sistema linear é representado dessa forma:

\[ Ax = b \]

Os casos de maior confusão:

• Um vetor pode ser tratado como uma matriz, então a representação será \(AX=B\)

• Ter uma escalar (um número que não é tratado como um vetor) como incógnita: \(cv + du = b\), note que é difícil saber o que é vetor e o que é escalar.

Durante esse material iremos usar a variável de vetor com negrito:

\[ c \mathbf{v} + d \mathbf{u} = \mathbf{b} \]

Caso seja um vetor Unitário usaremos uma notação especial:

\[ \mathbf{\vec{v}} \]

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