Matrizes

Transformação Linear

Temos mais uma interpretação da matriz, agora também podemos pensar nela como uma representação da Transformação Linear.

Dificuldade comum:

A transformação do espaço não muda o Espaço Ambiente.

Uma forma de visualizar a transformação do espaço é:

1) criaremos uma cópia de todos os pontos do Espaço Ambiente, mas essas cópias são vetores

2) a Transformação Linear movimenta apenas as cópias

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Multiplicação de matrizes

Condição de existência

Essa ideia de multiplicação de matrizes como "composição de funções" torna intuitivo a condição de existência para essa operação:

"A quantidade de linhas da matriz da direita tem que ser igual a quantidade de colunas da matriz da esquerda"

A condição de existência para a multiplicação entre matrizes também serve para a multiplicação de uma Matriz com um vetor.

5 maneiras de multiplicar

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \]

\[AB = ?\]

Combinação Linear das colunas

Esse método é utilizado caso quisermos manipular as colunas da matriz A.

B define as quantidades de cada coluna de A que queremos na matriz resultante.

Podemos chamar de "multiplicação pela direita".

\[ AB = \begin{pmatrix} 8 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} & 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 9 \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \]

Combinação Linear das linhas

Esse método é utilizado caso quisermos manipular as linhas de uma matriz B.

A define as quantidades de cada linha de B que queremos na matriz resultante.

Podemos chamar de "multiplicação pela esquerda".

A notação do vetor está deitada porque a combinação linear resulta em uma linha e não em uma coluna.

\[ AB = \begin{pmatrix} 1 \begin{pmatrix} 8 & 4 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 6 & 9 \end{pmatrix} \\ 2 \begin{pmatrix} 8 & 4 \end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix} 6 & 9 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \]

Produto Interno linha coluna

Esse geralmente é o algoritmo ensinado.

Caso quisermos saber o resultado do elemento na linha i coluna j da matriz resultante, então fazemos o Produto Interno da linha i de A com a coluna j de B.

Info

Produto Interno ainda será visto

É apenas um algorítimo mais simples derivado dos algoritmos prévios.

\[ AB = \begin{pmatrix} 1\cdot8 + 3\cdot6 & 1\cdot4 + 3\cdot9 \\ 2\cdot8 + 7\cdot6 & 2\cdot4 + 7\cdot9 \end{pmatrix} \]

Soma de Produtos Externos

Tratamos os as colunas de A e as linhas de B como matrizes e multiplicamos com algum método, depois somamos todas as matrizes resultantes.

\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 9 \end{pmatrix} \]

Note que cada matriz resultante terá um Espaço Gerado com dimensão 1.

Blocos

Considere que A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho e que são grandes, então podemos dividir essas matrizes em submatrizes/blocos e usar o algorítimo do Produto Interno

\[ A = \begin{pmatrix} A_{1;1} & A_{1;2} \\ A_{2;1} & A_{2;2} \end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix} B_{1;1} & B_{1;2} \\ B_{2;1} & B_{2;2} \end{pmatrix} \]

\[ AB = \begin{pmatrix} A_{1;1}B_{1;1} + A_{1;2}B_{2,1} & A_{1;1}B_{1;2} + A_{1;2}+B_{2;2} \\ A_{2;1}B_{1;1} + A_{2;2}B_{2,1} & A_{2;1}B_{1;2} + A_{2;2}+B_{2;2} \end{pmatrix}; \]

Transformações Lineares famosas

Os próximos vídeos exemplificam Transformações Lineares famosas como matrizes, útil para conseguir classificar geometricamente o que uma matriz significa, mas não é necessário decorar.

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Determinante

Determinante de matriz triangular

Se uma matriz for Triangular Superior, então todos os elementos abaixo da diagonal são zeros

Então a determinante dessa matriz será o produto da diagonal.

No caso de uma matriz 2x2 podemos visualizar facilmente, pois o segundo termo é anulado.

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]

\[ det(A) = (4 \cdot 3) - (0 \cdot 5) = 4 \cdot 3 = 12 \]

Teste de conjunto Linearmente Independente

Relembre

Teste de conjunto Linearmente Independente por sistema linear homogêneo

Caso tivermos uma matriz quadrada (dimensão dos vetores colunas é igual a quantidade de vetores colunas), podemos testar se as colunas são Linearmente Independentes de outra forma.

A determinante diferente de 0 garante que o Espaço Gerado pelos vetores colunas tem a mesma dimensão do Espaço Ambiente, isso significa que os vetores colunas são Linearmente Independentes.

Exemplo

\[ A = \begin{pmatrix} \mathbf{v} & \mathbf{u} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]

\[ det(A) = (1 \cdot 3) - (2 \cdot 4) = -5 \]

Então, \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{u}\) são Linearmente Independentes

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Transposta

Transpor uma matriz significa transformar as colunas em linhas:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \]

\[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]

Iremos utilizar muito essa propriedade da Transposta da multiplicação:

\[(AB)^T = B^TA^T\]

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Exercício

Dica

Calculadora para operações básicas com matrizes

Qual a determinante de uma matriz que não escala e apenas rotaciona os vetores?

Como a matriz não escala os vetores, então uma área após uma Transformação Linear continuará com o mesmo valor.

Como não há reflexão (mudança de sentido das bases canônicas) então não haverá valores negativos, logo o valor da determinante é 1.

\( \left\{ \begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\3 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}4 \\1 \\0 \end{pmatrix} \right\} \) Qual é a outra forma que podemos ver se o conjunto de vetores é uma Base rapidamente?

Considerando a matriz quadrada \(\begin{pmatrix}\mathbf{v}, \mathbf{u},\mathbf{w}\end{pmatrix}\), então teremos uma matriz Triangular Superior.

O determinante será 1.3.0=0, logo o Espaço Gerado colapsa pelo menos 1 dimensão.

Então, esse conjunto não é uma Base.

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