Matrizes 3
Mudança de Bases
Matrizes Similares
Duas matrizes \(A\) e \(B\) são definidas como Matrizes Similares se existe algum \(X\) que satisfaça a equação:
Porém esse vídeo propõe uma noção intuitiva do que seria essa classificação:
Matrizes Similares representam a mesma Transformação Linear só que em Bases diferentes, onde X é só uma forma de traduzir entre as Bases diferentes.
Por exemplo, essa intuição torna o seguinte resultado mais intuitivo:
Autovalores e Autovetores
Matrizes Similares
Como matrizes Similares podem ser vistas como as mesmas Transformações Lineares em Bases diferentes, então achamos mais uma propriedade importante:
Matrizes Similares possuem os mesmos Autovalores (e Autovetores).
Cuidado
Os Autovetores de A e B estão no mesmo ponto do Espaço Ambiente, mas são representados de forma diferente. Por exemplo:
Sendo \(B=X^{-1}AX\) e \(\mathbf{v}\) como Autovetor de A, então o Autovetor correspondente de B é \(X^{-1}\mathbf{v}\)
Diagonalização
No vídeo a Diagonalização foi apresentado como Eigenbasis, porém é o mesmo resultado:
Achar uma matriz Diagonal B que é Similar a A, onde os valores da diagonal de B são os Autovalores.
Decomposição Espectral
Um resultado direto da Diagonalização é uma forma de decompor uma matriz A.
Supondo que A tem a quantidade necessária de Autovetores, então a Diagonalização será:
se quisermos isolar A
O vídeo a seguir mostra a visualização dessa decomposição:
Casos especiais
Geralmente usamos a seguinte equação para acharmos os autovalores:
Ao expandirmos a equação precisaremos achar as raízes de um polinômio de grau n (onde n é quantidade de linhas ou colunas) e teremos no máximo n autovalores.
Note que algumas matrizes quadradas já têm determinante igual a 0 sem precisarmos subtrair algo, ou seja, o autovalor é igual a 0 e os autovetores associados são os vetores do Espaço Nulo, pois são os vetores que continuam na mesma direção após a multiplicação pela escalar 0.
Exemplo
O vetor nulo é perpendicular e paralelo a todos os vetores.
Ao associarmos um autovalor diferente de 0 a um a autovetor \(\mathbf{v}\), estamos na verdade associando a uma reta de vetores colineares a \(\mathbf{v}\), pois após uma Transformação Linear todos esses vetores irão continuar alinhados.
Exemplo
Os autovetores associados a autovalores diferentes de 0 estão no Espaço Coluna, pois uma operação por escalar mantém o vetor no mesmo Espaço Vetorial.
Além de que, não necessariamente estamos associando a uma única reta, olhe o caso da matriz identidade: temos um único autovalor (que é 1) porém temos infinitas retas de autovetores.
Também existem autovalores complexos, exemplo:
Macete 2x2
