Matrizes especiais
Matriz Ortogonal
Vetores Ortonormais
Vetores Ortonormais são um conjunto de vetores onde qualquer par possível de vetores será ortogonal, além de que todos os vetores tem norma 1.
Matriz Ortonormal
Matriz Ortonormal é uma matriz onde suas colunas são um conjunto de vetores Ortonormais.
Uma matriz Ortonormal pode ser vista como uma Transformação Linear de rotação do espaço, pois as Bases Canônicas não são escaladas (mantém norma 1) e mantém a ortogonalidade entre elas.
Convenção
Por convenção uma matriz Ortogonal é uma matriz Ortonormal quadrada.
Porém note que essa convenção é confusa, pois não é evidente que as colunas devem ter norma 1, além de que quebra a lógica de que um conjunto ortonormal deveria ser um conjunto ortogonal, entretanto a nomenclatura inverte essa lógica.
Uma matriz Ortogonal geralmente é representada com a letra Q.
Inversa
Como uma matriz Ortogonal B não é necessariamente quadrada, então B não tem necessariamente Inversa. Porém conseguimos ver uma propriedade similar à Inversa:
Prova
Considere a multiplicação entre matrizes como sendo o Produto Interno da linha com a coluna, note que as linhas de \(B^T\) são as colunas de \(B\):
-
o Produto Interno entre vetores ortogonais é 0
-
o Produto Interno entre vetores iguais é a norma ao quadrado, que é 1
Então o resultado será uma matriz Identidade.
Relembre
Note que não podemos inverter a ordem, pois quebramos a Condição de Existência da multiplicação, porém se essa matriz Ortonormal fosse quadrada então poderíamos inverter a ordem:
Então, achamos uma forma eficiente de acharmos a Inversa de uma matriz Ortogonal.
Matriz Simétrica
Uma matriz Simétrica é uma matriz Quadrada que tem a propriedade:
Relembre
Por exemplo:
Existe uma simetria entre a parte de cima e debaixo da diagonal.
Note que o Espaço Linha e o Espaço Coluna são os mesmos, o Espaço Nulo e o Espaço Nulo Esquerdo também são os mesmos. Todos os Subespaços compartilham o mesmo Espaço Ambiente.
Autovetores
A propriedade mais importante é que matrizes Simétricas sempre têm n Autovetores ortogonais (onde n é a quantidade de colunas) e seus Autovalores são números reais, isso implica que uma matriz Simétrica sempre tem Decomposição Espectral:
Relembre
como \(X\) pode se tornar uma matriz Ortogonal, então
Então, uma matriz Simétrica pode ser vista como uma Transformação Linear que apenas escala os vetores (quando usamos os Autovetores como Base).
Dica
Demonstração dessa propriedade pode ser vista no livro do Gilbert Strang "Introduction to Linear Algebra Sixth Edition" na seção 6.3.
Matriz Simétrica Definida Positiva
Matriz Simétrica Definida Positiva adiciona mais propriedades às matrizes Simétricas: elas possuem Autovalores, pivôs e determinante positivos.
Em uma matriz Simétrica Semidefinida Positiva essas propriedades são positivas ou 0.
Matriz de Gram
Testar se as colunas eram Linearmente Independentes com a determinante dependia da matriz ser quadrada.
Note que \(A^TA\) será quadrada nxn (n=quantidade de colunas).
Porém um pouco inusitado é que \(A^TA\) terá o mesmo Posto de A:
1) Se uma matriz transforma um conjunto entrada de vetores em um conjunto de saída, o conjunto de saída tem no máximo a mesma dimensão do conjunto de entrada.
2) Pense na multiplicação de matrizes como uma composição de função
3) o conjunto de entrada em \(A^T\) será o Espaço Coluna de \(A\), que é o Espaço Linha de \(A^T\)
4) A saída da multiplicação será o Espaço Coluna de \(A^T\), pelo Teorema Fundamental da Álgebra Linear, tem a mesma dimensão que Espaço Linha de \(A^T\)
5) dim(C(A^T)) = dim(L(A^T)) = dim(C(A))
Conclusão: se A tiver as colunas Linearmente Independentes, então \(det(A^TA) \neq 0\).
Similarmente, \(AA^T\) será quadrada mxm (m=quantidade de linhas) e terá o mesmo Posto de A. Se A tiver linhas Linearmente Independentes, então \(det(AA^T) \neq 0\).
Além disso, \(A^TA\) e \(AA^T\) serão Simétricas Semidefinidas Positivas para qualquer matriz A, essa propriedade torna os Autovetores especiais:
1) Como os vetores saída de \(A^TA\) serão uma Combinação Linear das linhas de \(A\), percebemos que os Autovetores (associados a autovalores diferentes de 0) pertencem ao Espaço Linha de \(A\) (pela propriedade de um Espaço Vetorial).
2) Como \(A^TA\) é simétrica, então terá \(n\) Autovetores ortogonais
3) Desses \(n\) autovetores, \(p\) (de Posto) são do Espaço Linha e \(n-p\) são do Espaço Nulo.
4) Como os autovetores são ortogonais, então garantimos uma Base para os 2 Espaços Fundamentais
E da mesma forma na matriz \(AA^T\) para o Espaço Coluna e o Espaço Nulo Esquerdo.