Representação de figuras geométricas
Função Explícita
Podemos estar acostumados com a função do 1° grau (ou função afim) que representa uma reta no plano cartesiano:
onde \(a,b\) são os coeficientes (constantes) e \(x,y\) são as variáveis.
Porém \(x\) é uma variável independente e \(y\) é uma variável dependente, isso torna a compreensão do comportamento dessa equação mais previsível, pois estamos apenas variando \(x\) e \(y\) é apenas o resultado da fórmula.
Como \(y\) é uma variável dependente, então para cada \(x\) teremos apenas um \(y\) e isso corresponde a definição de uma função, então podemos rescrever essa equação com \(y\) estando em função de \(x\).
Exemplo:
Mais que \(y\) pode ser escrito em função de de \(x\), note que todo ponto pode ser descrito como \((x, f(x))\), logo temos uma função injetora de valores de x para valores do ponto.
Função Implícita
Porém, se quebrarmos a regra de que um \(x\) está apenas para um \(y\), então não conseguimos representar a equação como uma função e nem como uma variável dependente.
Exemplo:
Não conseguimos representar essa reta como uma \(f(x)\), pois para \(x=1\) temos infinitos \(y\). Então, devemos tratar \(x,y\) como variáveis independentes em uma equação.
\(1=1x+0y\) que pode ser reduzido para \(x=1\).
Note que agora estamos variando \(x\) e \(y\) independentemente, o que pode tornar a visualização do comportamento da função mais difícil, porém nesse caso o coeficiente 0 anula a influência de \(y\).
Por mais que variamos \(x\) e \(y\) independentemente, a solução dessa equação são todos os pares ordenados que satisfaçam essa equação, ainda existe uma relação entre \(x\) e \(y\), um par ordenado como \((x=1, y=34)\) só tem um resultado que é 1, então podemos escrever essa equação como uma função implícita e a solução será o domínio da função.
Um resultado importante é que sempre podemos descrever uma reta como uma função implícita em um Espaço 2D, independente de onde decidirmos colocar os eixos da coordenada.
Exemplo
Note que nessa reta em específico, caso o contexto permita, poderíamos trocar qual variável é independente e qual é dependente, assim teríamos \(x=f(y)\).
Um exemplo de como como a função implícita pode tornar a visualização mais difícil:
\(0=x^{2}+y^{2}-2x-4y+1\)
Note que não podemos isolar uma variável em um lado da função, mas podemos manipular algebricamente para algum formato mais reconhecível:
\(2^{2}=\left(x-1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}\)
E talvez lembraremos desse formato de equação como sendo um círculo.
Relembre
Fórmula da distância no plano cartesiano entre os pontos \(P\) e \(Q\): \(\sqrt{(P_x - Q_x)^2 + (P_y - Q_y)^2}\)
Definição de círculo na geometria: conjunto de pontos de mesma distância do centro
Uma equação aparentemente complicada representa uma figura simples, conseguimos ter ideia do comportamento da equação apenas com essa representação no plano cartesiano, isso mostra a utilidade da Geometria Analítica (e a necessidade de usarmos calculadoras gráficas a partir de agora).
Função Paramétrica
Digamos que não estamos satisfeitos em ter os pontos da curva no plano cartesiano como o domínio de uma função implícita, gostaríamos de ter uma variável independente no domínio e pontos (que dependem unicamente dessa variável) na imagem da função, como na função explícita.
Como não podemos tratar as 2 coordenadas do ponto como sendo dependentes exclusivamente de \(x\) ou de \(y\), então temos que achar uma variável nova que chamaremos de \(t\) e que cada valor de \(t\) esteja relacionado a um único ponto, logo cada ponto P da curva será \(P=(g(t), h(t))\)
Uma forma de pensar em \(t\) é como o valor do tempo, pense que você ira traçar uma curva no plano cartesiano com um lápis, a cada instante você esterá em único ponto. Então, dado um valor de tempo conseguimos saber em que ponto estamos.
Podemos pensar em \(t\) como uma nova dimensão temporária, que como a função explícita mantém uma função injetora entre \(t\) e cada ponto, cada ponto P será \(P=(g(t), h(t), t)\):
Calculadora Gráfica com essa função
Dica
Note que o movimento apenas no eixo x e apenas no eixo y é cíclico entre [0,4] e [-1,3] respectivamente, então usaremos alguma função trigonométrica (que também é cíclica), nesse caso temos uma similaridade grande com o círculo trigonométrico, temos apenas que mudar os coeficientes.
Note que ao aumentarmos uma dimensão mantemos a informação do 2D, então ao projetarmos essa curva 3D no plano xy temos a mesma curva original no 2D.
Geralmente quando não consideramos uma variável como uma dimensão chamamos essa variável de parâmetro (por isso função paramétrica).
Cuidado
A função de \(t\) para um ponto 2D não será injetora ao diminuirmos uma dimensão.
Dimensão
A reta tem dimensão 1, por mais que esteja em um espaço com dimensão 2, isso pode parecer intuitivo.
Porém o círculo também tem dimensão 1, note que se estamos em qualquer ponto do círculo só temos 2 opções de movimento e esse movimento é tão pequeno que podemos considerar que estamos na reta tangente que aproxima aquela curva.
Podemos representar todos os pontos de dimensão 1 com apenas um número (o \(x\) no caso explícito e \(t\) no caso paramétrico), existe essa correspondência entre quantidade de variáveis que geram a figura e a sua dimensão.
Exemplo
A superfície de uma Esfera está em um espaço 3D, porém conseguimos identificar todos os pontos da superfície com 2 coordenadas: latitude e longitude, logo a superfície é 2D.
3D
Podemos expandir os resultados anteriores do 2D para o 3D.
No caso explícito, temos 3 variáveis com 2 dessas independentes, geralmente a variável dependente é a \(z\).
Note que como temos 2 variáveis livres iremos construir uma estrutura de dimensão 2 (uma superfície), podemos interpretar o plano dos eixos x e y como o "chão" e teremos uma altura z para cada ponto do "chão".
Exemplo
No caso implícito, a fórmula da superfície da esfera terá o mesmo formato: fixamos a distância dos pontos ao centro:
A função paramétrica dependerá de 2 parâmetros, a derivação da fórmula será pulada.